とりあえず結論

食欲もある健康状態のミドリガメであれば、一週間なにも食べずに、又、日光浴させずに過ごさせても問題ありません（冬眠で数ヶ月なにも食べない生命力を考えても理解できるかと思います）。ですので、涼しい日陰に水槽ごと置いておくのが一番安全だと思います。一番避けたいのは直射日光等の気温の上昇による水槽内の温度の上昇です。夏の太陽は水を熱湯にしますし、また、亀も熱射病になりますので、やはり、心配の様でしたら、日陰（現在屋外で飼育されていて、鳥や猫等の外敵の恐れがあるのであれば屋内の涼しい場所か危害を加えられないようにフタ等の工夫をすることが必要）で過ごさせる事が望ましいと思います。また、直射日光でなくとも、熱くなってしまう場合がありますので、屋内の涼しい場所で一週間過ごさせるのが賢明かもしれません。

預けても良いと思いますが、そこでどの様なストレスがかかるかわかりませんので、上記の内容（温度等）を理解していただける信頼できる方に預けることが無難なのではないでしょうか。
ちなみに私の場合は前者の預けずに、一時的に（屋内の）涼しい日陰で過ごさせます。
出かけてから帰るまで水質を維持しておくには、出かける前に排便をさせた後、水を換えて、出かけることが望ましく思います。
理想的には、日が当たるか当たらないか際どいくらいの場所がいいとは思いますが、夏の暑さを考慮すると、一概にはいえないのですが。